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La Conjecture de Goldbach: un problème mathématique simple, mais jamais résolu

Les mathématiciens, comme de nombreux autres scientifiques, aiment relever des défis, mais surtout résoudre des énigmes. À travers l’Histoire, de nombreux challenges ont pu faire face aux esprits futés de scientifiques. Des challenges souvent compliqués et même décisifs, il n’y a rien de plus gratifiant que de les voir aboutir à une solution finale sans ambiguïté.

La résolution des messages chiffrés de Enigma, la machine à coder allemande, a été un des éléments déterminants du cours de l’Histoire, précisément pendant la Seconde Guerre mondiale.

Alan Turing, l’un des mathématiciens les plus respectés dans l’histoire de la cryptanalyse, continue de faire parler de lui des décennies plus tard pour sa contribution à cette réussite. De nos jours encore, les experts en mathématique sont en compétition pour résoudre bien des énigmes, des énigmes restées mystérieuses pour bien trop longtemps.

Un problème sans solution

Si les mathématiciens peuvent être d’accord sur un point, ça sera pour dire que les problèmes qui semblent les plus futiles sont en réalité les plus difficiles à prouver. Une preuve en mathématique est en effet indispensable afin de résoudre un problème posé et sans elle, personne ne peut parler de vraie solution.

Parmi ces problèmes qui donnent encore du fil à retordre aux chercheurs en mathématique se trouve la fameuse Conjecture de Goldbach. Une conjecture est par définition une règle qui n’a jamais été réellement prouvée, mais assumée comme étant toujours vraie, sauf preuve du contraire. Justement, les experts mathématiciens passent des mois, des années voire toute une vie de recherche afin d’apporter cette fameuse preuve qui affirmera ou infirmera l’exactitude de la donnée.

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Adam Cunningham et John Ringland, Wikipédia

D’autres conjectures existent en mathématique, telles que la Conjecture de Collatz, ce qui ne facilite pas la vie d’un fervent scientifique.

La conjecture de Goldbach est énoncée comme suit : tout nombre pair supérieur à 2 peut être exprimé comme étant une somme de deux nombres premiers. Le nombre premier est, pour rappel, tout nombre qui ne peut être divisé que par 1 et par lui-même.

Pour démontrer cette conjecture, il est plus facile de commencer par les petits nombres. En prenant 4 par exemple, il est évident de dire que c’est la somme de 2+2, 2 étant un nombre premier. En prenant un nombre plus grand pour illustrer, le 8 par exemple, il est également acquis que c’est la somme de 3+5, tous deux des nombres premiers, pour ne citer que cette possibilité.

Les choses se corsent un peu plus en arrivant à des valeurs plus importantes. Par exemple, 100 peut être exprimé comme étant la somme de 47+53, mais ce n’est pas la seule façon d’obtenir le nombre 100. En réalité, il en existe bien d’autres : 29+71 et 17+83 aboutissent bel et bien à 100. Il a été observé que plus le nombre est grand, plus il y avait de possibilités d’associations, formant ainsi la Comète de Goldbach que les scientifiques adorent illustrer.

Des tentations et des récompenses

French mathematician Pierre Collet on NeuroMat 09 - La conjecture de Goldbach est un problème simple mais qui n'a jamais été résolu
Horadrim, Wikipédia

Le plus impressionnant concernant les curiosités mathématiques réside dans l’incapacité de la démontrer. Malgré le fait qu’elle soit vieille de 257 ans et trouvée dans une lettre écrite par l’allemand Christian Goldbach et adressée à Leonhard Euler, la conjecture n’est toujours pas résolue.

Selon les mathématiciens, il n’est pas suffisant de prendre des nombres aléatoires et de tenter de prouver que la Conjecture fonctionne toujours. Cela a déjà été fait et unecalculatrice dédiée à cette énigme a même été mise en place. Le souci est et risque d’être encore de prouver qu’il n’y aura jamais une exception à la règle établie et dans ce cas, qu’il n’y aura jamais un nombre qui ne figurera pas dans la Comète de Goldbach.

De telles énigmes ont toujours existé et selon The Guardian, il ne faut jamais assumer un fait scientifique en se basant sur une observation ou une théorie, étant donné l’importance d’une vraie validation. En 2013, une variation de la conjoncture connue sous le nombre de Conjecture faible de Goldbach a été prouvée, sans que cela n’ait des répercussions sur le problème plus général.

En l’an 2000, la maison d’édition britannique Faber & Faber a proposé une récompense d’un million de dollar pour quiconque qui réussirait à prouver la fameuse hypothèse du mathématicien Allemand. Selon le professeur David Eisenbud, dans une déclaration àNumberphile en 2017, tout mathématicien rêverait non pas d’obtenir une telle somme d’argent, mais d’aboutir à une démonstration d’une aussi célèbre conjecture.

ohchouette.com

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